Das Seminar findet dieses Semester als Online-Präsenzveranstaltung statt!

Allgemeines

• Betreuer: Lorenz Hübschle-Schneider und Tobias Maier
• Durchführung: Dieses Semester online mittels Zoom, Link steht im Ilias
• Termin: Mittwochs 10:00. Keine Veranstaltung am 21. April 2021
• Vorbesprechung: Erster Termin (14.4.2021 um 10:00 in Zoom)
• Teilname: Die Teilnehmerzahl ist auf 16 beschränkt, wir bitten um eine kurze eMail (bitte Matrikelnummer und Studiengang nicht vergessen). Restplätze werden bei der Vorbesprechung vergeben. Um an dieser teilnehmen zu können, müsst ihr euch zu unserem Ilias-Kurs anmelden, dort findet ihr den Zoom-Link.

Inhalt

Dem 1996 verstorbenen ungarischen Mathematiker Paul Erdős zufolge, hält Gott ein Buch - nämlich das BUCH - mit den schönsten und elegantesten mathematischen Beweisen unter Verschluss. Erdős' höchstes Ziel war es, eben solche Beweise aus dem BUCH zu finden.

Martin Aigner und Günter Ziegler veröffentlichten nach Erdős' Tod 1998 das Buch „Proofs from THE BOOK“, das inzwischen auch in deutscher Sprache unter dem Titel „Das BUCH der Beweise“ erschienen ist. In ihrer Sammlung, die zum Teil gemeinsam mit Paul Erdős entstanden ist, findet man 40 Beweise, die wegen ihrer Eleganz als vielversprechende Kandidaten für BUCH-Beweise gelten.

In diesem Seminar werden die Teilnehmer eine Auswahl der Probleme aus dem Buch der Beweise vorstellen und diskutieren.

Format

Das Format des Seminars weicht von den meisten anderen Seminaren ab: Es wird keine schriftliche Ausarbeitung gefordert. Stattdessen ist Ihre Aufgabe, Beweise aus dem Buch an der Tafel (die in diesem Semester durch eine Selbstbau-Dokumentenkamera oder ein Online-Whiteboard ersetzt wird) vorzutragen, ggf mit wenigen Folien als Hilfsmittel. Pro Termin werden zwei oder drei ca 20-minütige Vorträge gehalten, basierend auf ein oder zwei Kapiteln des Buchs. Die Themen werden zwei Wochen vorher bekannt gegeben. Die Teilnehmer werden in zwei Gruppen aufgeteilt, die im wöchentlichen Wechsel dran sind. Da die Vortragenden aus den Gruppen ausgelost werden, ist regelmäßige Vorbereitung nötig! Jeder muss mindestens zweimal vortragen. Die ganzen Details gibt es in der Vorbesprechung am ersten Termin (14.4.2021 um 10:00).

Themen

Im Folgenden sind alle Kapitel -und damit Beweise- aus dem Buch zur Übersicht aufgeführt. Die vorzubereitenden Themen und deren Termin werden zwei Wochen im Vorfeld bekanntgegeben.

Zahlentheorie

1. Sechs Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen
2. Das Bertrandsche Postulat
3. Binomialkoeffizienten sind (fast) nie Potenzen
4. Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
5. Das quadratische Reziprozitätsgesetz
6. Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper
7. Der Spektralsatz und Hadamards Determinantenproblem
8. Einige irrationale Zahlen
9. Drei Mal π²/6

Geometrie

1. Hilberts drittes Problem: Zerlegung von Polyedern
2. Geraden in der Ebene und Zerlegung von Graphen
3. Wenige Steigungen
4. Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel
5. Der Starrheitssatz von Cauchy
6. Die Borromäischen Ringe gibt es nicht
7. Simplexe, die einander berühren
8. Stumpfe Winkel
9. Die Borsuk-Vermutung

Analysis

1. Mengen, Funktionen, und die Kontinuumshypothese
2. Ein Lob der Ungleichungen
3. Der Fundamentalsatz der Algebra
4. Ein Quadrat und viele Dreiecke
5. Ein Satz von Polya über Polynome
6. Van der Waerdens Permanenten-Vermutung
7. Ein Lemma von Littlewood und Offord
8. Der Kotangens und der Herglotz-Trick
9. Das Nadel-Problem von Buffon

Kombinatorik

1. Schubfachprinzip und doppeltes Abzählen
2. Wenn man Rechtecke zerlegt
3. Drei berühmte Sätze über endliche Mengen
4. Gut genug gemischt?
5. Gitterwege und Determinanten
6. Cayleys Formel für die Anzahl der Bäume
7. Identitäten und Bijektionen
8. Das endliche Kakeya-Problem
9. Vervollständigung von Lateinischen Quadraten

Graphentheorie

1. Permanenten und Entropie
2. Das Dinitz-Problem
3. Ein Fünf-Farben-Satz
4. Die Museumswächter
5. Der Satz von Turan
6. Kommunikation ohne Fehler
7. Die chromatische Zahl der Kneser-Graphen
8. Von Freunden und Politikern
9. Die Probabilistische Methode

Literatur

Das BUCH ist auf vielen Sprachen verfügbar, darunter:

[1] Martin Aigner and Günter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK. Sixth Edition. Springer Verlag, 2018 (PDF) ISBN 978-3-662-57264-1

[2] Martin Aigner und Günter M. Ziegler. Das BUCH der Beweise. Vierte Auflage, Springer Verlag, 2018 (PDF) ISBN 978-3-662-57767-7

Frühere Auflagen der Bücher enthalten unter Umständen nicht alle Beweise. Die aktuelle Auflage kann innerhalb des KIT-Netzes kostenlos als PDF über die angegebenen Links direkt bei Springer geladen werden. Es gibt auch ein paar Exemplare in der Informatik-Bibliothek. Ihr braucht das Buch nicht kaufen!